Question

5．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$（x∈R），设△ABC的内角A，B，C对应边分别为a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0．
（1）求C的值．
（2）若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为：f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，由f（C）=0得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，结合范围-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，即可解得C的值．
（2）利用向量共线可得2sinA=sinB，由正弦定理可得b=2a，由余弦定理得a²+b²-ab=3，联立解得a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，…（1分）
f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，…（2分）
由f（C）=0得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，…（3分）
又∵-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，…（4分）
∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，…（5分）
即C=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）与向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共线，
∴2sinA=sinB，…（7分）
∴b=2a，①…（8分）
由余弦定理，得a²+b²-ab=3，②…（9分）
∴由①②得：a=1，b=2…（10分）
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．