Question

18．如图，四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，P是对角线BD上的一点，直线EP，PF分别交AB，DC的延长线于M，N．证明：线段MN被直线EF所平分．

Answer 1

分析 设EF∩MN=G，直线EF截△PMN，欲证G是线段MN的中点，只要证$\frac{PF}{NF}=\frac{PE}{ME}$，由此能证明线段MN被直线EF所平分．

解答 证明：设EF∩MN=G，直线EF截△PMN，
则$\frac{NG}{GM}•\frac{ME}{EP}•\frac{PF}{FN}$=1，
欲证G是线段MN的中点，只要证$\frac{PF}{NF}=\frac{PE}{ME}$，①
直线AB截△PDE，得$\frac{PM}{ME}•\frac{EA}{AD}•\frac{BD}{BP}$=1，即$\frac{MP}{2ME}=\frac{BP}{BD}$，②
直线CD截△PBF，则有$\frac{PN}{NF}•\frac{FC}{CB}•\frac{BD}{DP}$=1，即$\frac{NP}{2NF}=\frac{PD}{BD}$，③
②③相加，得$\frac{MP}{ME}+\frac{NP}{NF}=2$，即$\frac{NP}{NF}-1=1-\frac{MP}{ME}$，
即$\frac{PF}{NF}=\frac{PE}{ME}$，
∴线段MN被直线EF所平分．

点评 本题考查线段被直线平分的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．