Question

6．过点（2，-2）且以$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$为渐近线的双曲线方程是（　　）

• A． $\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{2}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 由已知可设双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），由于过点（2，-2）且以$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$为渐近线，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：由已知可设双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
∵过点（2，-2）且以$y=±\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$为渐近线，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．