Question

19．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （1）连结OC，推导出AO⊥BD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面BCD．
（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h，由V_O-ACD=V_A-OCD，能求出点O到平面ACD的距离．

解答 证明：（1）连结OC，
∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD．
∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，$AB=2，AC=\sqrt{6}$，
∴$AO=CO=\sqrt{3}$．
在△AOC中，∵AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=0，∴AO⊥平面BCD．  …（6分）
解：（Ⅱ）设点O到平面ACD的距离为h．
∵V_O-ACD=V_A-OCD，∴$\frac{1}{3}{S_{△OCD}}•AO$．
在△ACD中，AD=CD=2，
$AC=\sqrt{6}$${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}\sqrt{6}•\sqrt{{2^2}-{{（{\frac{{\sqrt{6}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$．
而$AO=\sqrt{3}$，${S_{△OCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$h=\frac{{{S_{△OCD}}}}{{{S_{△ACD}}}}•AO=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．
∴点O到平面ACD的距离为$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．