Question

9．如图，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等边三角形，侧面BB₁C₁C是菱形，∠B₁BC=60°．
（Ⅰ）求证：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）若AB=a，AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，求三棱锥C-ABB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由BC=BB₁，∠B₁BC=60°可知△BCB₁是等边三角形，取BC中点O，则BC⊥OA，BC⊥OB₁，于是BC⊥平面AOB₁，从而BC⊥AB₁；
（2）根据等边三角形的性质求出OA，OB₁，利用勾股定理的逆定理得出OA⊥OB₁，从而OB₁是棱锥B₁-ABC的高，代入体积公式可求出棱锥的体积．

解答 证明：（I）取BC中点O，连结B₁O，AO，B₁C，
∵侧面BB₁C₁C是菱形，∴BC=BB₁，∵∠B₁BC=60°，∴△BCB₁是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，∴BC⊥B₁O，BC⊥AO，
又∵AO?平面AOB₁，B₁O?平面AOB₁，AO∩B₁O=O，
∴BC⊥平面AOB₁，∵AB₁?平面AOB₁，
∴BC⊥AB₁．
（II）∵△ABC和△BCB₁是等边三角形，AB=a，∴OA=OB₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
∵AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，∴OA²+OB₁²=AB₁²，∴OA⊥OB₁，
又∵OB₁⊥BC，OA?平面ABC，BC?平面ABC，OA∩BC=O，
∴OB₁⊥平面ABC，
∴V${\;}_{棱锥C-AB{B}_{1}}$=V${\;}_{棱锥{B}_{1}-ABC}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC•OB₁=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{{a}^{3}}{8}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定和性质，棱锥的结构特征和体积计算，属于中档题．