Question

1．如图，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，M为侧棱PD的三等分点（靠近D点），O为AC，BD的交点，且PO⊥面ABCD，PC=2．
（1）若在棱PD上存在一点N，且BN∥面AMC，确定点N的位置，并说明理由；
（2）求三棱锥A-PMC的体积．

Answer 1

分析 （1）连结OM，BN，根据线面平行的性质得出BN∥OM，故$\frac{DO}{DB}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{2}$，所以N为PD的另一个三等分点；
（2）由菱形的性质可得OC=$\frac{1}{2}$AC=1，由勾股定理求出PO，于是V_棱锥A-PMC=V_棱锥P-ACD-V_棱锥M-ACD=$\frac{2}{3}$V_棱锥P-ACD．

解答 解：（1）连结OM，BN，
∵BN∥面AMC，BN?平面BDN，平面BDN∩平面ACM=OM，
∴BN∥OM，
∴$\frac{DO}{DB}=\frac{DM}{DN}$=$\frac{1}{2}$，
∵M是PD靠近D的三等分点，∴N是PD靠近P点的三等分点．
（2）∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BCD=120°，
∴AO=OC=1，△ACD是等边三角形．∴S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}A{C}^{2}$=$\sqrt{3}$．
∵PO⊥面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PO⊥AC，∴PO=$\sqrt{P{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵M是靠近D点的三等分点，∴M到平面ABCD的距离h=$\frac{1}{3}$PO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴V_棱锥A-PMC=V_棱锥P-ACD-V_棱锥M-ACD=$\frac{1}{3}$S_△ACD•PO-$\frac{1}{3}$S_△ACD•$\frac{1}{3}$PO=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．