Question

13．已知边长为3的正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球O的球面上，则点O到平面ABC的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设正△ABC的中心为O₁，连结O₁O、O₁C、O₁D、OD．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据能求出结果．

解答 解：设正△ABC的中心为O₁，连结O₁O、O₁C、O₁D、OD，
∵O₁是正△ABC的中心，A、B、C三点都在球面上，
∴O₁O⊥平面ABC，结合O₁C?平面ABC，可得O₁O⊥O₁C，
∵边长为3的正三角形ABC中，O₁C=$\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∵Rt△O₁OC中，O₁C=$\sqrt{3}$，OO₁⊥O₁C，球的半径OC=R=2，
∴球心O到平面ABC的距离O₁O=$\sqrt{{R}^{2}-{O}_{1}{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
故选：A．

点评 本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．