Question

8．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A₁C₁与B₁D₁的交点，已知AA₁=AB=1，∠BAD=60°．
（1）求证：平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁；
（2）求点O到平面BC₁D的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出A₁C₁⊥B₁D₁，A₁C₁⊥BB₁，由此能证明平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁．
（2）取AB中点E，以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点O到平面BC₁D的距离．

解答 证明：（1）∵底面ABCD为菱形，O为A₁C₁与B₁D₁的交点，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，
∴A₁C₁⊥BB₁，
∵B₁D₁∩BB₁=B₁，∴A₁C₁⊥平面B₁BDD₁，
∵A₁C₁?平面A₁BC₁，∴平面A₁BC₁⊥平面B₁BDD₁．
解：（2）取AB中点E，以D为原点，DE为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），D（0，0，0），O（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{DO}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}，\frac{1}{4}$，0），$\overrightarrow{DB}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}$，1），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，1），
设平面BDC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，3，-3），
∴点O到平面BC₁D的距离d=$\frac{|\overrightarrow{DO}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|\frac{3}{2}|}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$．
∴点O到平面BC₁D的距离为$\frac{\sqrt{21}}{14}$．

点评 本考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．