Question

17．已知P是四边形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PD，在四边形ABCD中，BA=AD，BA⊥AD，O是BD的中点，OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OP．
（1）求证：PD⊥AC；
（2）求二面角A-PD-C余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线面垂直的性质定理证明AC⊥面PBD即可；
（Ⅱ）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵PA=PB=PD，BA=AD，O是BD的中点，
∴PO⊥BD，AO⊥BD，
∵PA=PB=PD，BA=AD，BA⊥AD，O是BD的中点
∴△POB≌△POD≌△POA，
则∠POB=∠POD=∠POA=90°，
即PO⊥底面ABD，PO⊥AC，
∵PO∩BD=0，
∴AC⊥面PBD，
∵PD?面ABD，AC?面ABD
∴PD⊥AC；
（2）以0为坐标原点，OB，0C，OP为x，y，z轴，建立空间坐标系如图：
设OA=2，则OB=OD=2，AB=AD=2$\sqrt{2}$，
∵OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{3}$OP．
∴OC=1，OP=3，
即O（0，0，0），B（2，0，0），D（-2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，3），A（0，-2，0）
则$\overrightarrow{PD}$=（-2，0，-3），$\overrightarrow{AD}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{CD}$=（-2，-1，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为面APD的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2x-3z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，
令x=3，则y=3，z=-2，
则$\overrightarrow{m}$=（3，3，-2），
设平面PDC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x-3z=0}\\{-2x-y=0}\end{array}\right.$，
令x=3，则y=-6，z=-2，
即$\overrightarrow{n}$=（3，-6，-2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3×3-6×3-（-2）×（-2）}{\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}+（-2）^{2}}•\sqrt{{3}^{2}+（-6）^{2}+（-2）^{2}}}$=$\frac{-13}{\sqrt{22}•\sqrt{49}}$=$-\frac{13}{7\sqrt{22}}$=-$\frac{13\sqrt{22}}{154}$，
∵二面角A-PD-C为锐二面角，
∴二面角A-PD-C余弦值为$\frac{13\sqrt{22}}{154}$．

点评 本题综合考查空间直线垂直的判断以及空间角的计算，涉及二面角的平面角，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查的知识面较广，难度中等．