Question

12．如图，点E在△ABC的外接圆O上，AB=AC，$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，AC交BE于点D，圆O的面积为S．
（1）证明：$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$；
（2）若△ABC的面积S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BD•BE，证明：$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

Answer 1

分析 （1）推导出∠ABD=∠CBE，∠BA=∠BEC，从而△ABD∽△EBC，由此能证明$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$．
（2）推导出AB=AC=BC，半径R=OB=2OD=2DE，由此能证明$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

解答 证明：（1）∵$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，∴∠ABD=∠CBE，
∵∠BA=∠BEC，∴△ABD∽△EBC，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{BD}{BC}$，∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{BE}{BC}$．
（2）∵点E在△ABC的外接圆O上，AB=AC，$\widehat{AE}$=$\widehat{CE}$，AC交BE于点D，圆O的面积为S，
∴AB=AC=BC，圆心O是等边△ABC的重心，且O在BE上，半径R=OB=2OD=2DE，
∵S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}$BD•BE，∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{4}•（r+\frac{1}{2}r）（r+r）$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{r}^{2}$，
圆O的面积为S=πr²，
∴$\frac{S}{{S}_{1}}$=$\frac{π{r}^{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}{r}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{9}$．

点评 本题考查两组线段比值相等的证明，考查圆的面积与三角形面积比值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．