Question

3．已知F是双曲线C：x²-y²=2的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，2）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为3．

Answer 1

分析 利用双曲线的定义，确定△APF周长最小时，P的坐标，即可求出△APF周长最小时，该三角形的面积

解答 解：设左焦点为F₁（-2，0），右焦点为F（2，0）．
△APF周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+（|PF₁|+2a）=|AF|+|AP|+|PF₁|+2a≥|AF|+|AF₁|+2a，
当且仅当A，P，F₁三点共线，即P位于P₀时，三角形周长最小．
此时直线AF₁的方程为y=x+2，代入x²-y²=2中，可求得${P_0}（{-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，
故${S_{△A{P_0}F}}={S_{△A{F_1}F}}-{S_{△{P_0}{F_1}F}}=\frac{1}{2}×4×2-\frac{1}{2}×4×\frac{1}{2}=3$．
故答案为：3．

点评 本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定P的坐标是关键．