Question

16．如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2．
（1）求证：AD•AB=AE•AC；
（2）求线段BC的长度．

Answer 1

分析 （1）推导出B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理能证明AD•AB=AE•AC．
（2）过点F作FG⊥BC于点G，推导出B，G，F，D四点共圆，F，G，C，E四点共圆，由此利用割线定理能求出BC的长．

解答 证明：（1）由已知∠BDC=∠BEC=90°，
所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，
由割线定理知：AD•AB=AE•AC．…（3分）
解：（2）如图，过点F作FG⊥BC于点G，
由已知，∠BDC=90°，又因为FG⊥BC，所以B，G，F，D四点共圆，
所以由割线定理知：CG•CB=CF•CD，①…（5分）
同理，F，G，C，E四点共圆，由割线定理知：
BF•BE=BG•BC，②…（7分）
①+②得：CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE，
即BC²=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30，…（8分）
所以BC=$\sqrt{30}$．…（10分）

点评 本题考查两组线段长的乘积相等的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意四点共圆和切割线定理的合理运用．