Question

1．如图，正方形ACDE与等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F、G分别是线段AE、BC的中点，求
（1）求三棱锥C-EFG的体积；
（2）AD与GF所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由平面ABC⊥平面ACDE可得BC⊥平面ACDE，把△CEF当做棱锥的底，则棱锥的高为CG，代入体积公式计算即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GF}$的坐标，使用向量的夹角公式求出夹角．

解答 解：（1）∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE=AC，BC⊥AC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面ACDE，
∵F、G分别是线段AE、BC的中点，∴CG=$\frac{1}{2}$BC=1，EF=$\frac{1}{2}$AE=1，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$EF•AC=1，∴V_棱锥C-EFG=V_棱锥G-CEF=$\frac{1}{3}$S_△CEF•CG=$\frac{1}{3}$．
（2）以CA为x轴，CB为y轴，CD为z轴建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），D（0，0，2），G（0，1，0），F（2，0，1）．
∴$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{GF}$=（2，-1，1），∴|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{GF}$|=$\sqrt{6}$，$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{GF}$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{GF}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{GF}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{GF}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
AD与GF所成角指的是异面直线所成的角，其取值范围是（0°，90°]，所以其余弦值应为正值．
∴AD与GF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了空间角的计算和棱锥的体积计算，对于空间角的问题常采用向量法解决，属于中档题．