Question

5．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥平面AA₁C₁C，AB=2$\sqrt{2}$，AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=60°，D、E分别为A₁C，AB₁的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求点B到平面AB₁C的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出DE∥CB，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ）取AA₁的中点为F，连结CF，由${V}_{C-AB{B}_{1}}={V}_{B-A{B}_{1}C}$，能求出点B到平面AB₁C的距离．

解答 证明：（Ⅰ）E为AB₁的中点，即E为AB₁与A₁B的交点，
又D为A₁C的中点，∴DE∥CB，
∵DE?平面ABC，CB?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．
解：（Ⅱ）取AA₁的中点为F，连结CF，
∵AA₁=AC=4，∠A₁C₁C=60°，得△ACA₁为正三角形，
∴CF⊥AA₁，且CF=2$\sqrt{3}$，
∵BA⊥平面AA₁C₁C，∴BA⊥CF，
∴CF⊥平面ABB₁A₁，
在直角△B₁A₁C中，A₁B₁=2$\sqrt{2}$，A₁C=4，则B₁C=2$\sqrt{6}$，
在等腰△AB₁C中，$A{B}_{1}={B}_{1}C=2\sqrt{6}$，AC=4，
∴${S}_{△A{B}_{1}C}$=4$\sqrt{5}$，
设点B到平面AB₁C的距离为h，
∵${V}_{C-AB{B}_{1}}={V}_{B-A{B}_{1}C}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×AB×B{B}_{1}×CF=\frac{1}{3}×{S}_{△A{B}_{1}C}×h$，
解得h=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴点B到平面AB₁C的距离为$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．