Question

20．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，点M是线段EC的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（3）求平面BDM与平面ABF所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取DE的中点N，连结MN，AN．运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证；
（2）运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证；
（3）以D为原点，DA，DC，DE为x，y，z轴，建立空间的直角坐标系，求得A，B，C，D，E，M的坐标，运用向量垂直的条件，求得平面BDM和平面ABF的法向量，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．

解答 （1）证明：取DE的中点N，连结MN，AN．
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
则MN∥CD且$MN=\frac{1}{2}CD$．
由已知AB∥CD，$AB=\frac{1}{2}CD$，
得MN∥AB，且MN=AB，四边形ABMN为平行四边形，BM∥AN，
因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF∴BM∥平面ADEF．
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．又平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，
∴ED⊥平面ABCD．∴ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，
得$BC=2\sqrt{2}$．在△BCD中，$BD=BC=2\sqrt{2}$，CD=4，
可得BC⊥BD．又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．
又BC?平面BEC，则平面BDE⊥平面BEC．
（3）解：如图，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），
D（0，0，0），E（0，0，2）．
因为点M是线段EC的中点，
则M（0，2，1），$\overrightarrow{DM}=（{0，2，1}）$，又$\overrightarrow{DB}=（{2，2，0}）$．
设$\overrightarrow n=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$是平面BDM的法向量，
则$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow n=2{x_1}+2{y_1}=0$，$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow n=2{y_1}+{z_1}=0$．
取x₁=1，得y₁=-1，z₁=2，即得平面BDM的一个法向量为 $\overrightarrow n=（{1，-1，2}）$．
由题可知，$\overrightarrow{DA}=（{2，0，0}）$是平面ABF的一个法向量．
设平面BDM与平面ABF所成锐二面角为θ，
因此，$cosθ=|{\frac{{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{DA}}|•|{\overrightarrow n}|}}}|=|{\frac{2}{{2×\sqrt{1+1+4}}}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查空间的线面位置关系的证明，以及空间二面角的求法，注意运用线面平行或垂直、面面垂直的判定定理和性质定理，考查运算和推理能力和空间想象能力，属于中档题．