Question

15．如图，直三棱柱ABC一A₁B₁C₁中，侧棱长为2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A₁B₁的中点，F是BB₁上的动点，AB₁，DF交于点E，要使AB₁⊥平面C₁DF，则线段B₁F的长为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B₁F的长．

解答 解：以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意A₁（1，0，0），B₁（0，1，0），D（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），C₁（0，0，0），A（1，0，2），设F（0，1，t），0≤t≤2，
$\overrightarrow{{C}_{1}D}$=（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，-2），$\overrightarrow{{{C}_{1}F}^{\;}}$=（0，1，t），
∵AB₁⊥平面C₁DF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}D}=0}\\{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{{C}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，∴1-2t=0，解得t=$\frac{1}{2}$．
∴线段B₁F的长为$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．