Question

4．如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D是棱BB₁上的点，且BD=1，求：
（1）AD与平面BB₁C₁C所成角的余弦值．
（2）点B到平面ADC的距离．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点O，连接OD，则AO⊥平面BB₁C₁C，∠ADO为AD与平面BB₁C₁C所成角；
（2）利用等体积，求点B到平面ADC的距离．

解答 解：（1）取BC的中点O，连接OD，则AO⊥平面BB₁C₁C，
∴∠ADO为AD与平面BB₁C₁C所成角，
∵AB=BD=1，
∴AD=$\sqrt{2}$，AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin∠ADO=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cos∠ADO=$\frac{\sqrt{10}}{4}$；
（2）△ACD中，AD=CD=$\sqrt{2}$，AC=1，∴S_△ACD=$\frac{1}{2}•1•\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
设点B到平面ADC的距离为h，则$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{7}}{4}h=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•1$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 考查点B到平面ADC的距离考查直线和平面所成的角，关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题．