Question

5．设$\overrightarrow{a}$=（cos25°sin25°）$\overrightarrow{b}$=（sin20°，cos20°），若t是实数，且$\overrightarrow{μ}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，求|$\overrightarrow{μ}$|的最小值．

Answer 1

分析 由平面向量的坐标运算求出$\overrightarrow{μ}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的坐标，求模后利用二次函数求最值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cos25°，sin25°）$\overrightarrow{b}$=（sin20°，cos20°），
∴$\overrightarrow{μ}$=$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（cos25°，sin25°）+t（sin20°，cos20°）=（cos25°+tsin20°，sin25°+tcos20°），
则|$\overrightarrow{μ}$|=$\sqrt{（cos25°+tsin20°）^{2}+（sin25°+tcos20°）^{2}}$
=$\sqrt{1+{t}^{2}+2t•sin45°}$=$\sqrt{{t}^{2}+\sqrt{2}t+1}$，
∴当t=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，|$\overrightarrow{μ}$|有最小值为$\sqrt{（-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\sqrt{2}×（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算，考查了向量模的求法，是基础题．