Question

20．设复数z的共轭复数为$\overline{z}$，且4z+2$\overline{z}$=3$\sqrt{3}$+i，ω=sinθ-icosθ，复数z-ω对应复平面内的向量为$\overrightarrow{OM}$，求复数z和|$\overrightarrow{OM}$|的取值范围．

Answer 1

分析 设出复数z的形式，由题意和复数相等可得方程组，解方程组可得z，再由模长公式和三角函数可得．

解答 解：设z=a+bi，a，b∈R，则$\overline{z}$=a-bi，
代入且4z+2$\overline{z}$=3$\sqrt{3}$+i可得4a+4bi+2a-2bi=3$\sqrt{3}$+i，
化简可得6a+2bi=3$\sqrt{3}$+i，
由复数相等可得6a=3$\sqrt{3}$，2b=1，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，∴z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$i，
∴|$\overrightarrow{OM}$|=|z-ω|=|（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sinθ）+（$\frac{1}{2}$+cosθ）i|
=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}-sinθ）^{2}+（\frac{1}{2}+cosθ）^{2}}$
=$\sqrt{2-\sqrt{3}sinθ+cosθ}$
=$\sqrt{2-2sin（θ-\frac{π}{6}）}$，
∵-1≤sin（$θ-\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤2-2sin（$θ-\frac{π}{6}$）≤4，
∴0≤|$\overrightarrow{OM}$|≤2

点评 本题考查复数相等和模长，涉及三角函数公式和三角函数的值域，属中档题．