Question

10．已知O为坐标原点，过点P（0，2）的直线l与圆O：x²+y²=1交于两点A，B．
（1）求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若Q（0，1）且AQ∥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离d＜r，即可求直线l的斜率k的取值范围；
（2）若Q（0，1）且AQ∥OB，A是PB的中点，求出A，B的坐标即可求直线l的方程．

解答 解：（1）设直线l：y=kx+2，即kx-y+2=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，
∴k＜-1或k＞1；
（2）由题意，A是PB的中点，
设B（2a，2b），则A（a，b+1），
代入圆的方程可得4a²+4b²=1，a²+（b+1）²=1，
解得a=±$\frac{\sqrt{15}}{8}$，b=-$\frac{1}{8}$，
∴直线l的方程为y+$\frac{1}{4}$=$\frac{\frac{7}{8}+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{8}-\frac{\sqrt{15}}{4}}$（x-$\frac{\sqrt{15}}{4}$）或y+$\frac{1}{4}$=-$\frac{\frac{7}{8}+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{8}-\frac{\sqrt{15}}{4}}$（x+$\frac{\sqrt{15}}{4}$），即y=-$\frac{3}{5}\sqrt{15}$x+2或y=$\frac{3}{5}\sqrt{15}$x+2.5．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．