Question

20．设函数f（x）=x|x-a|（a∈R）．
（1）当a=2时，写出f（x）的单调递减区间（不需要证明）；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为$\frac{{a}^{2}}{4}$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出解析式，讨论x≥2时，x＜2时，去掉绝对值，由二次函数的单调性，即可得到所求减区间；
（2）求出f（x）的分段函数形式，讨论对称轴和区间的关系，根据函数的最值，结合分段函数解方程，即可得到结论．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x|x-2|，
当x≥2时，f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，
当x＜2时，f（x）=2x-x²=-（x-1）²+1．
即有f（x）的单调减区间为（1，2）；
（2）f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
①若a≤0，则f（x）_max=f（1）=1-a=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
⇒a=-2-2$\sqrt{2}$；
②若a＞0，则
（i）$\frac{a}{2}$＞1⇒f（x）_max=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$⇒a∈∅；
（ii） $\frac{a}{2}$≤1≤$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a⇒f（x）_max=f（ $\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$
⇒a∈[2$\sqrt{2}$-2，2]；
（iii）1＞$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$a⇒f（x）_max=f（1）=$\frac{{a}^{2}}{4}$⇒a∈∅．
综上：a∈[2$\sqrt{2}$-2，2]∪{-2$\sqrt{2}$-2}．

点评 本题主要考查函数单调性的判断以及函数最值的应用，利用分段函数结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．