Question

12．已知函数f（x）=2sinxcos（x+$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）使用和角公式展开合并可得f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用正弦函数的性质得出周期和单调增区间；
（2）求出g（x）的解析式，根据x的范围求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，利用正弦函数的性质得出g（x）的最值．

解答 解：（1）f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x+$\sqrt{3}$sin²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=π．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{4}$+kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+kπ．
∴f（x）的单调增区间是[-$\frac{π}{4}$+kπ，$\frac{π}{4}$+kπ]，k∈Z．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$sin2（x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{5π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
∴当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最小值$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．