Question

17．若正六棱锥内接于半径为3的球，则当正六棱锥的体积最大时，它的底面边长为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先设正六棱锥的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，得到x与a，R之间的关系，又正六棱锥的高为h=R+x，从而得出正六棱锥体积关于x函数表达式，最后利用基本不等式求出这个正六棱锥体积的最大值即可．

解答 解：设正六棱锥的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x，
则：x²+a²=9，
而正四棱锥的高为h=3+x，
故正四棱锥体积为：
V（x）=$\frac{1}{3}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（9-x²）（3+x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（6-2x）（3+x）（3+x）
≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（$\frac{6-2x+3+x+3+x}{3}$）³=$\frac{125}{4}\sqrt{3}$，
当且仅当x=1时，等号成立，
那么正六棱锥的底面边长为2$\sqrt{2}$．
故答案为：2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了球内接多面体、棱柱、棱锥、棱台的体积等基本知识，考查了空间想象力，属于中档题．