Question

2．在△ABC中，A，B，C角对边分别为a，b，c．且3acosB=bcosC+ccosB．
（1）求sinB的值．
（2）若b=4，且a=c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，进而利用两角和公式化简求得sinB的值．
（2）利用余弦定理先求出a，c的值，利用三角形的面积公式进行计算即可．

解答 解：（1）在△ABC中，∵3acosB=bcosC+ccosB，
∴由正弦定理，得3sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
∵A、B、C是△ABC的三内角，
∴sin（B+C）=sinA≠0，
∴sinA=3sinAcosB，
∴cosB=$\frac{1}{3}$．则sinB=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\sqrt{\frac{8}{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（2）∵cosB=$\frac{1}{3}$．
∴b²=a²+c²-2accosB，
∵b=4，a=c，
∴16=a²+a²-2a²×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{3}$a²，
则a²=12．则a=$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$a²sinB=$\frac{1}{2}×12×$$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．