Question

13．若-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，则函数y=$\frac{2ta{n}^{2}x-3tanx}{（2tanx+3）^{2}}$的最大值为5．

Answer 1

分析 令tanx=t，则t∈[-1，1]，关于t的方程（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y=0在[-1，1]上有解，即函数g（t）=（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y 在[-1，1]上有零点，再利用二次函数的性质，分类讨论，求得y的最大值．

解答 解：∵-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$，∴-1≤tanx≤1，
则由函数y=$\frac{2ta{n}^{2}x-3tanx}{（2tanx+3）^{2}}$=$\frac{{2tan}^{2}x-3tanx}{{4tan}^{2}x+12tanx+9}$，可得（4y-2）tan²x+（12y+3）tanx+9y=0．
令tanx=t，则t∈[-1，1]，则关于t的方程（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y=0在[-1，1]上有解，
即函数g（t）=（4y-2）•t²+（12y+3）t+9y 在[-1，1]上有零点．
（1）若y=$\frac{1}{2}$，求得t=-$\frac{1}{2}$，满足条件．
（2）若y≠0，则$\left\{\begin{array}{l}{△{=（12y+3）}^{2}-4（4y-2）•9y≥0}\\{-1≤\frac{12y+3}{2-4y}≤1}\end{array}\right.$ ①，或g（-1）g（1）≤0②．
由①可得$\left\{\begin{array}{l}{y≥-\frac{1}{16}}\\{-\frac{5}{8}≤y≤-\frac{1}{16}}\end{array}\right.$，求得y=-$\frac{1}{16}$；
由②可得（y-5）（25y+1）≤0，求得-$\frac{1}{25}$≤y≤5．
综上可得，y的最大值为5，
故答案为：5．

点评 本题主要考查正切函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．