Question

15．设函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a∈R）
（1）若0＜x≤3时，函数f（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k$≤\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的取值范围．
（2）当a=0时，方程f（x）=x（m-1）在区间[1，e²]内有唯一实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，条件转化为a≥-$\frac{1}{2}$x²+x，x∈（0，3]恒成立，分离参数求最值，即可得出结论；
（2）分别求出直线y=（m-1）x过原点和A（1，0）的斜率以及过原点和B的斜率，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∵y=f（x）图象上任意一点的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，
∴$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，x∈（0，3]恒成立，
∴a≥-$\frac{1}{2}$x²+x，x∈（0，3]恒成立，
由 y=-$\frac{1}{2}$x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$，可知x=1时，函数值为$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（2）a=0时，f（x）=lnx，
x=1时，f（x）=0，x=e²时，f（x）=2，
f（x）过A（1，0），B（e²，2），
由m-1=0，解得：m=1，
由m-1=$\frac{2}{{e}^{2}}$，解得：m=$\frac{{e}^{2}+2}{{e}^{2}}$，
∴m∈[1，$\frac{{e}^{2}+2}{{e}^{2}}$）．

点评 题考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．