Question

10． 某社区为调查当前居民的睡眠状况，从该社区的[10，70]岁的人群中随机抽取n人进行一次日平均睡眠时间调查，这n人中各年龄组人数的频率分布直方图如图1所示，统计各年龄组的“亚健康族”（日平均睡眠时间符合健康标准的称为“健康族”否则称为“亚健康族”）人数及相应频率，得到统计表如图所示

组数	分组	亚健康族的人数	占本组的频率
第一组	[10，20）	100	0.5
第二组	[20，30）	195	P
第三组	[30，40）	120	0.6
第四组	[40，50）	a	0.4
第五组	[50，60）	30	0.3
第六组	[60，70]	15	0.3

（1）求n、p的值；
（2）用分层抽样的方法从年龄在[30，50）岁的“亚健康族”中抽取6人参加健康睡眠体验活动，现从6人中随机选取2人担任领队，记年龄在[40，50）岁的领队有X人，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由频率=$\frac{频数}{总数}$，结合频率分布直方图和频率分布表能求出n和p．
（2）先求出第四组中人数，从而能求出第四组中亚健康人数，进而利用分层抽样的方法得到抽到的6人中，年龄在[30，40）岁的人数为4，年龄在[30，40）岁的人数为2，由此得到X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，能求出X的分布列和X的数学期望．

解答 解：（1）∵第三组中亚健康人数120人，占本组频率为0.6，
又第三组在总体中的频率为0.02×10，
∴n=$\frac{120}{0.6}$×$\frac{1}{0.02×10}$=1000．
∵第二组亚健康人数为195人，
又第二组在总体中的频率为1-（0.020+0.020+0.015+0.010+0.005）×10=0.3，
∴第二组人数为10000×0.3=300，
p=$\frac{195}{300}$=0.65．
（2）第四组中人数为：1000×0.015×10=150，
∴第四组中亚健康人数a=150×0.4=60，
用分层抽样的方法从年龄在[30，50）岁的“亚健康族”中抽取6人参加健康睡眠体验活动，
则抽到的6人中，年龄在[30，40）岁的人数为：120×$\frac{6}{180}$=4，年龄在[30，40）岁的人数为：600×$\frac{6}{180}$=2，
现从6人中随机选取2人担任领队，记年龄在[40，50）岁的领队有X人，由X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

X的数学期望EX=$0×\frac{6}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查频率分布直方图和频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用．