Question

18．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx-2|，}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x+3，}&{x≤0}\end{array}\right.$，直线y=m与函数f（x）的图象交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，下列说法正确的是②③．（请写出所有正确答案的序号）
①m∈（3，4）；
②abcd∈[0，e⁴）；
③a+b+c+d∈[e⁵+$\frac{1}{e}$-2，e⁶+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2）；
④若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则t=3．

Answer 1

分析 ①画出y=f（x）与y=m的图象即可；
②，结合图象把abcd的不等式用m表示出来；
③同样用m把a+b+c+d表示出来；
④若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+t有三个不同的交点，画图即可．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x+3，x≤0}\\{|2-lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-（x+1）^{2}+4，x≤0}\\{|2-lnx|，x＞0}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）的图象如下：
若直线y=m与函数f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[3，4），故①错误；
四个交点横坐标从小到大，依次记为a，b，c，d，则a，b关于x=-1对称，
∴a+b=-2，ab=m-3，∴ab∈[0，1），且lnc=2-m，lnd=2+m，
∴ln（cd）=4，
∴cd=e⁴，
∴abcd∈[0，e⁴），∴②是正确的；
由2-lnx=4得x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，由2-lnx=3得x=$\frac{1}{e}$，
∴c∈（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]，又∵cd=e⁴，
∴a+b+c+d=c+$\frac{{e}^{4}}{c}$-2在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]是递减函数，∴a+b+c+d∈[e⁵+$\frac{1}{e}$-2，e⁶+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2）； 
∴③是正确的；
④若关于x的方程f（x）+x=t恰有三个不同实根，则y=f（x）与y=-x+t有三个不同的交点，
而直线y=-x+3 与y=-x+$\frac{13}{4}$均与y=f（x）有三个交点，∴t不唯一．∴故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：②③

点评 本题主要考查与函数有关的命题的真假判断，利用数形结合以及分段函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．