Question

9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$，x∈R）的部分图象如图：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若将函数f（x）图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{4}$倍，再沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据函数图象确定A，ω和φ的值即可．
（2）根据三角函数平移关系，结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由图象知A=1，函数的周期T=4•[$\frac{π}{3}$-（-$\frac{2π}{3}$）]=4π，
即$\frac{2π}{ω}$=4π，则ω=$\frac{1}{2}$，
∵函数图象与x的交点坐标是（$\frac{π}{3}$，0），
∴Asin（$\frac{1}{2}$×$\frac{π}{3}$+φ）=0
即sin（$\frac{π}{6}$+φ）=0
即$\frac{π}{6}$+φ=kπ，即φ=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{6}$，
即f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），
则f（x）=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）若将函数f（x）图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{4}$倍，得到y=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
再沿x轴向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数g（x）的图象，
即g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
则当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值2，
当2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值-1，
即函数g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的值域是[-1，2]．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数单调性的应用，考查学生的运算和推理能力．根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．