Question

14．已知函数f（x）=（x²-a+1）e^x（a∈R）有两个不同的极值点m，n，（m＜n），且|m+n|+1≥|mn|．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当x∈[0，2]时，设函数y=mf（x）的最大值为g（m），求g（m）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）得到其导函数，由两个极值点，得知导函数有2个根，且由韦达定理知两个之和与两根之积．
（2）求出m的范围，化简y，根据导数求出g（m）的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=（x²-a+1）e^x．
∴f′（x）=（x²+2x-a+1）e^x．
令f′（x）=0，得：x²+2x-a+1=0．
由题意：△=4-4（1-a）=4a＞0．
即a＞0，
且：m+n=-2，mn=1-a．
∵|m+n|+1≥|mn|．
∴|a-1|≤3．
∴0＜a≤4．
（2）∵f′（m）=（m²+2m-a+1）e^m=0．
∴a=m²+2m+1．
∴0＜m²+2m+1≤4．
∴-3≤m≤1且m≠-1．
又∵m＜n．
∴-3≤m＜-1．
∴y=mf（x）．
∴g（m）=m（m²-a+1）e^m=m（m²-m²-2m）e^m=-2m²e^m．
g′（m）=-2m（2+m）e^m ．
令g′（x）=0，得m₁=0，m₂=-2．
∴g（m）在[0，2]上是单调递减．
g（m）最大值为g（0）=0．

点评 本题考查利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求导函数对应方程的根，然后求出根对应的函数值，根据单调性，得到最值．