Question

19．如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD且MD=NB=1，E为BC的中点
（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值
（2）在线段AN上是否存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30°，若存在，求线段AF的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以D为坐标原点，DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线NE与AM所成角的余弦值．
（2）假设在线段AN上存在点F，使FE与平面AMN所成角为30°，设$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AN}$=（0，λ，λ），（0≤λ≤1），利用向量法推导出$λ=\frac{2±3\sqrt{2}}{4}$与0≤λ≤1矛盾，从而在线段AN上不存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30°．

解答 解：（1）如图，以D为坐标原点，DA、DC、DM所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），M（0，0，1），
C（0，1，0），B（1，1，0），N（1，1，1），E（$\frac{1}{2}$，1，0），
∴$\overrightarrow{NE}=（-\frac{1}{2}，0，-1）$，$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），
∵$\overrightarrow{NE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，-1），$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），
∵|cos＜$\overrightarrow{NE}，\overrightarrow{AM}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{NE}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）不存在F，使EF与平面AMN所成角为30°，
假设在线段AN上存在点F，使FE与平面AMN所成角为30°，
设$\overrightarrow{AF}$=$λ\overrightarrow{AN}$=（0，λ，λ），（0≤λ≤1），
又$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{1}{2}，-1，0$），∴$\overrightarrow{EF}$=$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}$=（$\frac{1}{2}，λ-1，λ$），
设平面AMN的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
$\overrightarrow{AM}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AN}$=（0，1，1），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AN}=y+z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∵点F使得FE与平面AMN所成角为30°，
∴sin30°=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\frac{1}{4}+（λ-1）^{2}+{λ}^{2}}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$，
解得$λ=\frac{2±3\sqrt{2}}{4}$与0≤λ≤1矛盾，
∴在线段AN上不存在点F，使得FE与平面AMN所成角为30°．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查使得线面角为30°的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．