Question

4．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，线段CD的中垂线为AE，垂足为E，将△DAE沿AE翻折到△A′AE，此时点A′在平面ABCE上的射影恰为点E．
（1）若AE=$\frac{1}{2}$AB，求证：平面A′BC⊥平面A′AB；
（2）若直线A′C与平面A′AB所成的角小于30°，求AE的取值范围．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，要证两平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再证这两个法向量垂直即可．
（2）设AE=a，先求出平面的法向量，再利用线面所成的角小于30°，得关于参数a的不等式，即可求出AE的取值范围．

解答 解：（1）∵线段CD的中垂线为AE，
∴DE=EC=1，DE⊥AE，CE⊥AE，A′E⊥AE．
又点A'在平面ABCE上的射影恰为点E，
∴以E为原点，$\overrightarrow{EA}$、$\overrightarrow{EC}$、$\overrightarrow{E{A}^{'}}$分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．
∵AB=2，∴AE=1，∴C（0，1，0），B（1，2，0），A（1，0，0），A'（0，0，1），
∴$\overrightarrow{{A}^{'}C}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=（1，2，-1），$\overrightarrow{{A}^{'}A}$=（1，0，-1）．
设平面A'BC的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），由$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{A}^{'}B}$，$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{{A}^{'}C}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-z=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=-y}\\{z=y}\end{array}\right.$，取y=1，则z=1，x=-1，
∴平面A′BC的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-1，1，1），
同理，可得平面A′AB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，1），
∵$\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}$=（-1）×1+1×0+1×1=0，
∴平面A′BC⊥平面A′AB．
（2）设AE=a，得B（a，2，0），A（a，0，0），A'（0，0，1），
∴$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=（a，2，-1），$\overrightarrow{{A}^{'}A}$=（a，0，-1），
设平面A′AB的法向量为$\overrightarrow{{n}_{3}}$（x₁，y₁，z₁），由$\overrightarrow{{n}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{A}^{'}B}$，$\overrightarrow{{n}_{3}}$⊥$\overrightarrow{{A}^{'}A}$，得$\left\{\begin{array}{l}{a{x}_{1}+2{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{a{x}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
取z₁=1，则y₁=0，${x}_{1}=\frac{1}{a}$，
∴平面A′AB的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{3}}$=（$\frac{1}{a}$，0，1）．
设$\overrightarrow{{A}^{'}C}$与平面A′AB的法向量$\overrightarrow{{n}_{3}}$所成的角为α，直线A′C与平面A′AB所成的角为β，
则sinβ=|cosα|，
∵0°＜β＜30°，∴0＜sin β＜$\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{|\overrightarrow{{A}^{'}C}•\overrightarrow{{n}_{3}}|}{|\overrightarrow{{A}^{'}C}|•|\overrightarrow{{n}_{3}}|}$$＜\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{1}{{2}^{2}}+1}}$$＜\frac{1}{2}$，
解得0＜a²＜1，∵a＞0，∴0＜a＜1，∴AE的取值范围是{a|0＜a＜1}．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线段长的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．