Question

13．2015年高考体检中，某校高三共有学生1000人，检查的身体的某项指标为由低到高的4个等级，具体如下表：

等级	1级	2级	3级	4级
人数	200	500	200	100

（1）若按分层抽样的方法从中抽取20人，再从这20人中抽取2人，求这2人的该项身体指标级别至少有1人小于2人的概率；
（2）若把该校高三学生该项指标中恰好为1级的频率视为概率，从这1000人中任选1人，若其该项指标恰好为1级则结束，否则再选取1人，依次选取，直至找到1人该项指标恰好为1级或选够4人，则结束选取，求结束时选取的人数的分布列与期望．

Answer 1

分析 （1）由分层抽样求出抽取的身体指标为1级，2级，3级，4级的人数分别为4，10，4，2，由此利用对立事件概率计算公式能求出“这2人的该项身体指标级别至少有1人低于2级”的概率．
（2）设选取的人数为X，则X的可能取值为1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）分层抽样的抽取比例为$\frac{20}{1000}$=$\frac{1}{50}$，
则抽取的身体指标为1级，2级，3级，4级的人数分别为4，10，4，2．
设“这2人的该项身体指标级别至少有1人低于2级”为事件A，
则P（A）=1-$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{7}{19}$．
（2）设选取的人数为X，则X的可能取值为1，2，3，4．
把该校高三学生该项指标中恰好为1级的频率视为概率，
则把该校高三学生该项指标中恰好为1级概率p=$\frac{1}{5}$，
 P（X=1）=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{4}{25}$，
P（X=3）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{16}{125}$，
P（X=4）=$\frac{4}{5}×\frac{4}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{64}{125}$．
故X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{16}{125}$	$\frac{64}{125}$

EX=1×$\frac{1}{5}$+2×$\frac{4}{25}$+3×$\frac{16}{125}$+4×$\frac{64}{125}$=$\frac{369}{125}$．

点评 本题考查概率的求法，考术离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．