Question

3．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-y≥0}\\{2x-y-2≤0}\end{array}\right.$．
（1）请作出可行域并用阴影表示，并求出可行域所代表图形的面积；
（2）在（1）条件下，求ω=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围；
（3）在（1）条件下，求z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域．
（1）联立方程组求出B的坐标，代入三角形面积公式得答案；
（2）由ω=$\frac{y-1}{x+1}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（-1，1）连线的斜率求解；
（3）由z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的几何意义，即可行域内动点与点M（-5，-4）的距离得答案．

解答 解：由约束条件作出可行域如图，

（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{2x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得B（2，2），
∴阴影部分△OAB的面积为$\frac{1}{2}×1×2=1$；
（2）ω=$\frac{y-1}{x+1}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-1，1）连线的斜率，
∵k_PO=-1，${k}_{PB}=\frac{2-1}{2-（-1）}=\frac{1}{3}$，
∴ω=$\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是[-1，$\frac{1}{3}$]；
（3）z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的几何意义为可行域内动点与点M（-5，-4）的距离，
由图可知，z=$\sqrt{（x+5）^{2}+（y+4）^{2}}$的最大值为|MB|=$\sqrt{{7}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{85}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．