Question

12．过函数y=f（x）=x³图象上两点P（1，1）和Q（1+△x，1+△y）作曲线的割线．
（1）求出当△x=0.1时割线的斜率．
（2）求y=f（x）=x³在x=x₀处的瞬时变化率．

Answer 1

分析 （1）由题意，当△x=0.1时，1+△x=1.1；故1+△y=1.1³=1.331；从而求斜率．
（2）利用瞬时变化率的意义，利用极限进行求解即可得出．

解答 解：（1）当△x=0.1时，1+△x=1.1；
故1+△y=1.1³=1.331；
故k_PQ=$\frac{1.331-1}{1.1-1}$=3.31．
（2）$\frac{△y}{△x}$=$\frac{（{x}_{0}+△x）^{3}-{x}_{0}^{3}}{△x}$=$\frac{△{x}^{3}+3△{x}^{2}{x}_{0}+3△x{x}_{0}^{2}}{△x}$=3x₀²+3x₀△x+（△x）²．
则f′（x₀）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△y}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$（3x₀²+3x₀△x+（△x）²）=3x₀²

点评 本题主要考查函数平均变化率的计算，根据定义分别求出△y与△x，即可．属于基础题．