Question

17．若tanα=-2，则sin（2α+$\frac{π}{3}$）的值是$\frac{\sqrt{3}-4-4\sqrt{3}}{10}$．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简所给的式子，从而求得结果．

解答 解：∵tanα=-2，∴sin（2α+$\frac{π}{3}$）=sin2αcos$\frac{π}{3}$+cos2αsin$\frac{π}{3}$=sinαcosα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$•（cos²α-sin²α）
=$\frac{sinαcosα+\frac{\sqrt{3}}{2}{（cos}^{2}α{-sin}^{2}α）}{{cos}^{2}α{+sin}^{2}α}$=$\frac{tanα+\frac{\sqrt{3}}{2}（1{-tan}^{2}α）}{1{+tan}^{2}α}$=$\frac{-2+\frac{\sqrt{3}}{2}（1-4）}{1+4}$=$\frac{\sqrt{3}-4-4\sqrt{3}}{10}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}-4-4\sqrt{3}}{10}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，三角函数的化简求值，属于基础题．