Question

9．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，0＜α＜π），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0）．
（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）分别用x，y表示t，消去参数得到普通方程，再化为极坐标方程；
（2）联立方程组解出A，B坐标，代入两点间的距离公式得出|OA|，|OB|，再进行化简计算．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{x}{cosα}}\\{t=\frac{y}{sinα}}\end{array}\right.$，∴直线l的普通方程为$\frac{x}{cosα}$-$\frac{y}{sinα}$=0，即sinαx-cosαy=0．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ-cosαρsinθ=0．
∵ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$，∴p=ρ-ρcosθ=ρ-x，∴ρ=p+x，两边平方得ρ²=x²+2px+p²，∴x²+y²=x²+2px+p²，即y²-2px-p²=0．
（II）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{sinαx-cosαy=0}\\{{y}^{2}-2px-{p}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{co{s}^{2}α+cosα}{si{n}^{2}α}p}\\{y=\frac{cosα+1}{sinα}p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{co{s}^{2}α-cosα}{si{n}^{2}α}p}\\{y=\frac{cosα-1}{sinα}p}\end{array}\right.$．
∴|OA|²=（$\frac{co{s}^{2}α+cosα}{si{n}^{2}α}p$）²+（$\frac{cosα+1}{sinα}p$）²=$\frac{（cosα+1）^{2}}{si{n}^{4}α}{p}^{2}$，|OB|²=（$\frac{co{s}^{2}α-cosα}{si{n}^{2}α}p$）²+（$\frac{cosα-1}{sinα}p$）²=$\frac{（cosα-1）^{2}}{si{n}^{4}α}{p}^{2}$，
∴|OA|=$\frac{cosα+1}{si{n}^{2}α}p$，|OB|=$\frac{1-cosα}{si{n}^{2}α}p$．
∴$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{（1+cosα）p}$+$\frac{si{n}^{2}α}{（1-cosα）p}$=$\frac{si{n}^{2}α}{p}$（$\frac{1}{1+cosα}$+$\frac{1}{1-cosα}$）=$\frac{2}{p}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，三角函数的恒等变换，距离公式的应用等．属于中档题．