Question

19．求函数f（x）=sinx[sinx-sin（x+$\frac{π}{3}$）]的最小正周期与最值．

Answer 1

分析 使用和角的正弦公式展开，合并，再利用二倍角公式与和角的正弦公式化简，结合正弦函数的图象与性质求出周期和最值．

解答 解：f（x）=sinx[sinx-（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）]=sinx（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）=$\frac{1}{2}$sin²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{1}{4}$（1-cos2x）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．f（x）的最小值为$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，f（x）的最大值为$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的图象与性质，属于基础题．