Question

7．已知函数f（x）=2|x-1|-a，g（x）=-|2x+m|，a，m∈R．若关于x的不等式g（x）≥-1的整数解有且仅有一值为-3．
（1）求整数m的值；
（2）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=$\frac{1}{2}$g（x）的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|2x+m|≤1，即$\frac{-1-m}{2}$≤x≤$\frac{1-m}{2}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-3≤\frac{1-m}{2}＜-2}\\{-4＜\frac{-1-m}{2}≤-3}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求整数m的值；
（2）由题意可得2|x-1|-a＞-|x+3|，即为a＜2|x-1|+|x+3|的最小值，由绝对值的含义和一次函数的单调性，即可得到最小值，进而得到a的范围．

解答 解：（1）关于x的不等式g（x）≥-1的整数解有且仅有一值为-3，
即为|2x+m|≤1，即$\frac{-1-m}{2}$≤x≤$\frac{1-m}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-3≤\frac{1-m}{2}＜-2}\\{-4＜\frac{-1-m}{2}≤-3}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{5＜m≤7}\\{5≤m＜7}\end{array}\right.$，
即有5＜m＜7，可得整数m=6；
（2）函数y=f（x）的图象恒在函数y=$\frac{1}{2}$g（x）的上方，
即有2|x-1|-a＞-|x+3|，
即为a＜2|x-1|+|x+3|的最小值，
由y=2|x-1|+|x+3|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥1}\\{5-x，-3＜x＜1}\\{-3x-1，x≤-3}\end{array}\right.$，
可得x=1时，取得最小值4，
可得a的范围是（-∞，4）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和绝对值的含义，以及一次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．