Question

17．如图，已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的四个顶点分别为A₁，A₂，B₁，B₂，左右焦点分别为F₁，F₂，若圆C：（x-3）²+（y-3）²=r²（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{5}$．
（1）求圆C的半径r；
（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB₁交椭圆于点D，交直线A₂B₂于点E，求$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1可得F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（x，y），由$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{5}$，可得$\frac{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，化为$（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{5}{4}$．又（x-3）²+（y-3）²=r²（0＜r＜3），根据圆C上有且只有一个点P满足$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{5}$，可得上述两个圆外切，即可得出．
（2）直线A₂B₂方程为：$\frac{x}{\sqrt{2}}+y=1$，化为$x+\sqrt{2}y$=$\sqrt{2}$．设直线B₁Q：y=kx-1，由圆心（3，3）到直线的距离$\frac{|3k-3-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{5}$，可得k∈$[\frac{1}{2}，\frac{11}{2}]$．联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{2}y=\sqrt{2}}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，解得E．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，解得D$（\frac{4k}{1+2{k}^{2}}，\frac{2{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}）$．利用两点之间的距离可得$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$=$\frac{|k||\sqrt{2}+2k|}{1+2{k}^{2}}$=$|\frac{2{k}^{2}+\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}|$=|1+$\frac{\sqrt{2}k-1}{1+2{k}^{2}}$|，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（1）由椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1可得F₁（-1，0），F₂（1，0），
设P（x，y），∵$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{5}$，∴$\frac{\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，化为：x²-3x+y²+1=0，即$（x-\frac{3}{2}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{5}{4}$．
又（x-3）²+（y-3）²=r²（0＜r＜3），
∵圆C上有且只有一个点P满足$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=$\sqrt{5}$．
∴上述两个圆外切，
∴$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+{3}^{2}}$=r+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得r=$\sqrt{5}$．
（2）直线A₂B₂方程为：$\frac{x}{\sqrt{2}}+y=1$，化为$x+\sqrt{2}y$=$\sqrt{2}$．
设直线B₁Q：y=kx-1，
由圆心（3，3）到直线的距离$\frac{|3k-3-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{5}$，可得k∈$[\frac{1}{2}，\frac{11}{2}]$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{2}y=\sqrt{2}}\\{y=kx-1}\end{array}\right.$，解得E$（\frac{4}{\sqrt{2}+2k}，\frac{2k-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2k}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化为：（1+2k²）x²-4kx=0，解得D$（\frac{4k}{1+2{k}^{2}}，\frac{2{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}）$．
∴|DB₁|=$\sqrt{（\frac{4k}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{2{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}+1）^{2}}$=$\frac{4|k|\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$．
|EB₁|=$\sqrt{（\frac{4}{\sqrt{2}+2k}）^{2}+（\frac{2k-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+2k}+1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{|\sqrt{2}+2k|}$，
∴$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$=$\frac{|k||\sqrt{2}+2k|}{1+2{k}^{2}}$=$|\frac{2{k}^{2}+\sqrt{2}k}{1+2{k}^{2}}|$=|1+$\frac{\sqrt{2}k-1}{1+2{k}^{2}}$|，
令f（k）=$\frac{\sqrt{2}k-1}{1+2{k}^{2}}$，f′（k）=$\frac{-\sqrt{2}（\sqrt{2}k-1）^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$≤0，
因此函数f（k）在k∈$[\frac{1}{2}，\frac{11}{2}]$上单调递减．
∴k=$\frac{1}{2}$时，$\frac{|D{B}_{1}|}{|E{B}_{1}|}$=|1+$\frac{\sqrt{2}k-1}{1+2{k}^{2}}$|=$\frac{1+\sqrt{2}}{3}$取得最大值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．