Question

2．给出下列命题：
①直线l的方向向量为$\overrightarrow{a}$=（1，-1，2），直线m的方向向量$\overrightarrow{b}$=（2，1，-$\frac{1}{2}$），则l与m垂直；
②直线l的方向向量$\overrightarrow{a}$=（0，1，-1），平面α的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），则l⊥α；
③平面α、β的法向量分别为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，3），$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，2），则α∥β；
④平面α经过三点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），向量$\overrightarrow{n}$=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．
其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据直线l、m的方向向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$垂直，得出l⊥m；
②根据直线l的方向向量$\overrightarrow{a}$与平面α的法向量$\overrightarrow{n}$垂直，不能判断l⊥α；
③根据平面α、β的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$与$\overrightarrow{{n}_{2}}$不共线，不能得出α∥β；
④求出向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的坐标表示，再利用平面α的法向量$\overrightarrow{n}$，列出方程组求出u+t的值．

解答 解：对于①，∵$\overrightarrow{a}$=（1，-1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，1，-$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×2-1×1+2×（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴直线l与m垂直，①正确；
对于②，$\overrightarrow{a}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-1），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{n}$=0×1+1×（-1）+（-1）×（-1）=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{n}$，∴l∥α或l?α，②错误；
对于③，∵$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（0，1，3），$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，2），
∴$\overrightarrow{{n}_{1}}$与$\overrightarrow{{n}_{2}}$不共线，
∴α∥β不成立，③错误；
对于④，∵点A（1，0，-1），B（0，1，0），C（-1，2，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0），
向量$\overrightarrow{n}$=（1，u，t）是平面α的法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1+u+t=0}\\{-1+u=0}\end{array}\right.$；
则u+t=1，④正确．
综上，以上真命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．