Question

13．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆上一点M作椭圆的切线，交直线x=-8于点P，试问：以PM为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用题设条件，根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，由此能求出椭圆的方程；
（2）设M的坐标，得到过点M的椭圆的切线方程，求出两种特殊情况的以PM为直径的圆所过的定点，然后证明一般情况下成立得答案．

解答 解：（1）∵中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点，
∴c=2，左焦点F′（-2，0），
∴2a=|AF|+|AF′|=$\sqrt{（2+2）^{2}+{3}^{2}}+\sqrt{（2-2）^{2}+{3}^{2}}=8$，
解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，
∴b²=12，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）设M（x₀，y₀），
则椭圆过点M的切线方程为$\frac{{x}_{0}x}{16}+\frac{{y}_{0}y}{12}=1$，
取x=-8，得y=$\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}$，
∴P（-8，$\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}$），
当M为椭圆上顶点时，M（0，$2\sqrt{3}$），此时P（-8，$2\sqrt{3}$），
PM的中点为（-4，$2\sqrt{3}$），
则以PM为直径的圆的方程为$（x+4）^{2}+（y-2\sqrt{3}）^{2}=16$，
取y=0，可得圆过定点G（-2，0），H（-6，0）；
同理当M为椭圆下顶点时，可得以PM为直接的圆过定点G（-2，0），H（-6，0）．
∵$\overrightarrow{MG}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{PG}=（6，-\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}）$，
∴$\overrightarrow{MG}•\overrightarrow{PG}=-12-6{x}_{0}+6{x}_{0}+12=0$，
∴以PM为直径的圆过定点G（-2，0）；
∵$\overrightarrow{MH}=（-6-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，$\overrightarrow{PH}=（2，-\frac{6{x}_{0}+12}{{y}_{0}}）$，
∴$\overrightarrow{MH}•\overrightarrow{PH}=-12-2{x}_{0}+6{x}_{0}+12=4{x}_{0}≠0$．
故以PM为直径的圆过定点G（-2，0）．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了过椭圆上点的切线方程，训练了恒过定点问题的求解方法，是中档题．