Question

4．将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型．
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$ （θ为参数，a，b为常数，且a＞b＞0）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosφ}}\\{y=btanφ}\end{array}\right.$，（φ为参数，a，b为正常数）；
（3）$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$（t为参数，p为正常数）．

Answer 1

分析 （1）根据同角三角函数基本关系式消去参数，即可得到其普通方程；
（2）根据1+tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，消去参数，即可得到其普通方程；
（3）用代入法消去参数，得到所求的普通方程，然后，给出该方程对应的轨迹即可．

解答 解：（1）根据已知，得
$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
它表示一个焦点在x轴上的椭圆，
（2）结合1+tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，得
消去参数φ，得
1+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
它表示一个焦点在x轴上的双曲线，
（3）根据已知参数方程，消去参数，得
y²=2px，（p＞0），
它表示一个焦点在x轴正半轴上的抛物线．

点评 本题综合考查了椭圆、双曲线、抛物线的参数方程和普通方程的互化、三角公式的应用等知识，考查比较综合，属于中档题．