Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1的左顶点为A，上顶点为B，点C、D是椭圆上的两个不同点，且CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于点M和N，且$\overrightarrow{MC}$=λ$\overrightarrow{CN}$，$\overrightarrow{MD}$=μ$\overrightarrow{DN}$，求λ+μ的取值范围．

Answer 1

分析 由椭圆方程求得A（-2，0），B（0，1），进一步求出AB所在直线的斜率，由CD∥AB，可设直线CD的方程为y=x+m，由已知，得M（-2m，0），N（0，m），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程得x²+2mx+2m²-2=0，再由判别式大于0求出m的范围，利用向量等式求得λ，μ，作和后结合根与系数的关系求出λ+μ∈（-∞，-2）∪（2，+∞）．

解答 解：由$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，得A（-2，0），B（0，1），
∴${k}_{AB}=\frac{1}{2}$，
由CD∥AB，设直线CD的方程为y=$\frac{1}{2}$x+m，
由已知，得M（-2m，0），N（0，m），
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-2=0，
由△=（2m）²-4（2m²-2）＞0，得m²＜2，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-2，
由$\overrightarrow{MC}$=λ$\overrightarrow{CN}$，得（x₁+2m，y₁）=λ（-x₁，m-y₁），
∴x₁+2m=-λx₁，即λ=-1-$\frac{2m}{{x}_{1}}$，
同理，由$\overrightarrow{MD}$=μ$\overrightarrow{DN}$，得μ=-1-$\frac{2m}{{x}_{2}}$，
∴λ+μ=-2-2m（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）=-2-2m•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-2+$\frac{2{m}^{2}}{{m}^{2}-1}$=$\frac{2}{{m}^{2}-1}$，
由m²＜2，得$\frac{2}{{m}^{2}-1}$∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
∴λ+μ∈（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．