Question

1．已知圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=2\sqrt{3}+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．
（1）在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）已知A（0，-2）、B（2，0），M为圆C上任意一点，求△ABM面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接根据圆的参数方程，得到其普通方程，然后，化为极坐标方程即可；
（2）首先，写出直线AB的方程，然后，判断该直线与圆的位置关系，然后，构造面积关系式，求解其最大值．

解答 解：（1）根据圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosα}\\{y=2\sqrt{3}+sinα}\end{array}\right.$（α为参数）得
（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=1，
∴该圆的普通方程为：（x-2）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=1，
∴x²+y²-4x-4$\sqrt{3}$y+15=0，
∴ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$ρsinθ+15=0，
∴圆C的极坐标方程：ρ²-4ρcosθ-4$\sqrt{3}$ρsinθ+15=0，
（2）∵A（0，-2）、B（2，0），
∴直线AB的方程为：$\frac{x}{2}-\frac{y}{2}=1$，
∴x-y-2=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2-2\sqrt{3}-2|}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{6}$＞1，
∴直线AB与圆相离，
∵|AB|=$\sqrt{（0-2）^{2}+（-2-0）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$|AB|×d（d为点M到直线的距离），
当d取$\sqrt{6}$+1时，此时所求面积最大，
最大面积为2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积公式、点到直线的距离等知识，属于中档题．