Question

9．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短半轴长b=1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B分别是椭圆C的左、右顶点，直线l：x=m（m≠2），当点P在直线l（纵坐标不为0）上移动时，直线PB、线段PA的延长线与椭圆C分别相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恒经过点A，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，联立解出即可得出；
（2）设P（m，y_P），A（-2，0），B（2，0），N（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．由于以MN为直径的圆恒经过点A，不妨设直线AM、AN的方程为：ky=x+2，-$\frac{1}{k}$y=x+2，k≠0．联立$\left\{\begin{array}{l}{ky=x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，解得M坐标．可得直线BM的方程，令x=m，解得y_P．由直线AN的方程，令x=m，解得y_P，进而解出m．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），∵$e=\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=1，a²=b²+c²，
解得b=1，a=2，c=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）设P（m，y_P），A（-2，0），B（2，0），N（x₁，y₁），M（x₂，y₂）．
∵以MN为直径的圆恒经过点A，
∴不妨设直线AM、AN的方程为：ky=x+2，-$\frac{1}{k}$y=x+2，k≠0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ky=x+2}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
化为：（k²+4）y²-4ky=0，
解得y_M=$\frac{4k}{{k}^{2}+4}$，x_M=ky_M-2=$\frac{2{k}^{2}-8}{{k}^{2}+4}$．
直线BM的方程为：y=$\frac{\frac{4k}{{k}^{2}+4}}{\frac{2{k}^{2}-8}{{k}^{2}+4}-2}$（x-2），化为y=-$\frac{k}{4}$（x-2），
令x=m，解得y_P=$\frac{-k（m-2）}{4}$．
由-$\frac{1}{k}$y=x+2，令x=m，解得y_P=k（m+2）．
∴$\frac{-k（m-2）}{4}$=-k（m+2），k≠0．
解得m=$-\frac{10}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、圆的性质、直线方程，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．