Question

7．设函数y=f（x）是定义在上（0，+∞）的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}$．
（1）求f（1）；
（2）若存在实数m，使得f（m）=1，求m的值；
（3）若f（x-2）＞1+f（x），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法令x=y=1，代入求解即可．
（2）根据抽象函数的关系进行求解即可．
（3）根据函数单调性以及抽象函数的关系解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
（2）∵f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴m=$\frac{1}{9}$；
（3））∵f（x-2）＞1+f（x），
∴f（x-2）＞f（$\frac{1}{9}$）+f（x）=f（$\frac{1}{9}$x），
∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x＞0}\\{x-2＜\frac{1}{9}x}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞0}\\{x＜\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，得2＜x＜$\frac{9}{4}$，
∴x的取值范围2＜x＜$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查基本的运算能力．