Question

2．已知抛物线y²=ax（a＞0），过动点P（m，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A，B，|AB|≤a．
（1）求m的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点Q，求△QAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出直线的方程与抛物线方程联立消去y，设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A，B，进而根据判别是对大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表达式，求得AB的长度的表达式，根据|AB|的范围确定a的范围
（2）求出线段AB的垂直平分线方程，得Q的坐标，进而表示出△NAB的面积，根据|AB|范围确定三角形面积的最大值．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=x-m代入y²=ax，
得y²-ay-am=0．
设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
△=a²-4（-am）＞0，∴m＞-$\frac{a}{4}$，
y₁+y₂=a，y₁y₂=-am，
|AB|=$\sqrt{2}•$$\sqrt{（{a}^{2}+4am）}$≤a，∴m$≤-\frac{a}{8}$，
∴-$\frac{a}{4}$＜m$≤-\frac{a}{8}$；
（2）由（1）线段AB的中点坐标为（$\frac{a}{2}$+m，$\frac{a}{2}$），
线段AB的垂直平分线方程为y-$\frac{a}{2}$=-（x-$\frac{a}{2}$-m），
令y=0，可得Q（m+a，0），
Q到AB的距离d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
∴△QAB面积S=$\frac{1}{2}•\frac{a}{\sqrt{2}}•|AB|$≤$\frac{1}{2}•\frac{a}{\sqrt{2}}•a$=$\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$，
∴△QAB面积的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$．

点评 本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．