Question

11．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁，F₂，若以线段F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，则椭圆C的离心率的取值范围是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

Answer 1

分析 通过联立圆与椭圆方程，利用根的判别式为非负数，计算即得结论．

解答 解：由题可知以F₁F₂为直径的圆的方程为：x²+y²=c²，
将其代入椭圆方程，消去y可得：（a²-b²）x²+a²b²-a²c²=0，
∵圆与椭圆有交点，
∴△=0-4（a²-b²）（a²b²-a²c²）≥0，
∴c²•a²•（a²-2c²）≤0，
∴a²≤2c²，即e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又椭圆斜率e＜1，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

点评 本题考查圆与圆锥曲线的位置关系，注意解题方法的积累，属于中档题．