Question

6．给出方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$当t为参数时动点（x，y）的轨迹方程为曲线C₁，当θ为参数时动点（x，y）的轨迹曲线C₂，且C₁与C₂的一个公共点为（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
（1）求C₁与C₂的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C₂的极坐标方程以及C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ≤2π）

Answer 1

分析 （1）根据所给参数方程，消去相应的参数即可得到相应的普通方程；
（2）结合（1），直接写出相应曲线C₂的极坐标方程，然后，将所给交点的坐标化为极坐标形式即可．

解答 解：（1）根据参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$，消去参数t，得
$\frac{x-1}{y-1}=\frac{cosθ}{sinθ}$，
∴xsinθ-ycosθ+cosθ-sinθ=0，
∴曲线C₁的普通方程为：xsinθ-ycosθ+cosθ-sinθ=0，
根据参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=1+tsinθ}\end{array}\right.$，消去参数θ，得
（x-1）²+（y-1）²=t²，
∴曲线C₂的普通方程为：（x-1）²+（y-1）²=t²，
（2）结合（1）中曲线C₂的普通方程，得
x²+y²-2x-2y-2-t²=0，
∴曲线C₂的极坐标方程为：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-2-t²=0，
又∵C₁与C₂的一个公共点为（1+$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$），
此时极角θ，满足tanθ=1，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
∵极径ρ=$\sqrt{2×（1+\sqrt{2}）^{2}}$=2+$\sqrt{2}$，
∴C₁与C₂交点的极坐标为（2+$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

点评 本题综合考查了极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化等知识，属于中档题．